La palabra correcta es Gallineta. Sin Embargo Gayineta se trata de un error ortográfico.
La Palabra gayineta es una error ortográfica de la palabra gallineta en la que se ha cambiado la letra u por la ü o viceversa, esto es falta o sobra la diéresis sobre una de sus vocales u de la palabra correcta que es gallineta
Gallineta en la RAE.
Gallineta en Word Reference.
Gallineta en la wikipedia.
Sinonimos de Gallineta.

la Ortografía es divertida

El Español es una gran familia
Se escribe LL:
Se escribe ll en las palabras que terminan en -illo, -illa. Por ejemplo: librillo, ventanilla.
Se escriben con y algunos tiempos y personas de los verbos cuyos infinitivos terminan en -uir:
Presente del Modo Indicativo
Ejemplos: construyo, influyes, huyo.
Excepciones: Nunca se escriben con y la primera y segunda personas del plural: huimos, construís, influimos.
Modo Imperativo
Ejemplo: construye, influye, influyamos, construya
Tercera persona del singular y del plural del pretérito indefinido.
Ejemplos: influyó, influyeron, construyó, construyeron
Modo subjuntivo.
Ejemplos: influya, construyera, influyere
Se escriben con y algunas formas de los verbos caer, leer, oír.
Ejemplos: cayó, leyeras, oyes
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